Công thức tính diện tích hình chóp và các ví dụ minh họa chi tiết

Để củng cố và bổ sung kiến thức về hình chóp, đặc biệt là những phần bạn chưa nắm rõ, bài viết này từ Tripi sẽ chia sẻ các công thức tính diện tích hình chóp kèm theo ví dụ minh họa cụ thể. Mời bạn cùng theo dõi.

I. Khái niệm hình chóp và hình chóp đều

1. Định nghĩa hình chóp

Trong hình học không gian, hình chóp là khối đa diện với đáy là một đa giác lồi, các mặt bên là những tam giác chung đỉnh, tạo thành đỉnh chóp. Đỉnh này không thuộc mặt phẳng đáy, mang đến cấu trúc độc đáo và đặc trưng cho hình chóp.

Hình chóp được phân loại dựa trên hình dạng đáy, mỗi loại mang tên gọi riêng biệt. Chẳng hạn, hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy là tứ giác, hay hình chóp hình thang với đáy là hình thang. Sự đa dạng này phản ánh tính linh hoạt và phong phú của hình chóp trong toán học.

2. Những tính chất đặc trưng của hình chóp

• Đường cao của hình chóp là đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy.
• Nếu các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau hoặc có độ dài bằng nhau, chân đường cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
• Khi mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy, đường cao của hình chóp trùng với đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
• Nếu các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau hoặc có đường cao từ đỉnh bằng nhau, chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.

3. Khái niệm hình chóp đều

Trong hình học không gian, hình chóp đa giác đều là một dạng đặc biệt, nổi bật với đáy là đa giác đều và các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Ví dụ điển hình bao gồm hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều, mang đến sự cân đối và hài hòa trong cấu trúc.

Những tính chất nổi bật của hình chóp đều:

• Đáy của hình chóp đều là các đa giác đều như hình vuông, tam giác đều, ngũ giác đều,...
• Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy, tạo nên sự đối xứng hoàn hảo.

II. Các công thức tính diện tích hình chóp

1. Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp

Diện tích xung quanh của hình chóp được xác định bằng tổng diện tích các mặt bên. Để tính toán, ta áp dụng công thức sau:

$S_{xq}$ = p.d

Trong công thức này:

• $S_{xq}$ là diện tích xung quanh của hình chóp.
• p là nửa chu vi của đáy.
• d là trung đoạn của hình chóp, được xác định là đường cao từ đỉnh chóp xuống trung điểm của một cạnh đáy.

Lưu ý: Công thức này chỉ áp dụng cho hình chóp có các mặt bên là tam giác đều. Đối với hình chóp có mặt bên không đều, cần tính diện tích từng mặt bên riêng lẻ rồi cộng tổng để có diện tích xung quanh chính xác.

2. Công thức tính diện tích toàn phần của hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp được tính bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy của hình chóp đó.

$S_{tp}$ = $S_{xq}$ + $S_{đáy}$

III. Minh họa bằng ví dụ cụ thể

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều với cạnh đáy dài 6 cm và các cạnh bên dài 5 cm. Hãy tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp này.

Lời giải chi tiết

- Bài toán cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy dài 6 cm, tức là các cạnh của tam giác đáy đều bằng 6 cm, và các cạnh bên của hình chóp có độ dài 5 cm.

- Gọi M là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng nối từ đỉnh S đến M chính là trung đoạn d của hình chóp tam giác đều S.ABC.

- Vì tam giác SBC là tam giác cân tại S, tam giác SBM là tam giác vuông tại M. Khi đó, BM bằng một nửa BC, tức là 3 cm. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông SBM, ta có:

$S{M}^2=S{B}^2-B{M}^2=5^2-3^2=16$

=> SM = 4 cm (SM chính là trung đoạn d của hình chóp).

- Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình chóp, ta có:

$S_{xq}=p\cdot d=\frac{6\times 3}{2}\cdot 4=9.4=36{cm}^2$

- Diện tích tam giác đáy được tính bằng công thức: $S_{\text{đáy }}=a^2\times \frac{\sqrt{3}}{4}=6^2\times \frac{\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{cm}^2$

- Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình chóp, ta có:

$S_{tp}=S_{xq}+S_d=36+9\sqrt{3}\approx 51,59{cm}^2$

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều với chiều cao của mỗi mặt bên là 10 cm và độ dài cạnh đáy là 20 cm. Hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều này.

Lời giải chi tiết

Vì đây là hình chóp tứ giác đều, nên tất cả các cạnh của tứ giác đáy đều có độ dài bằng 20 cm.

Diện tích của mỗi mặt bên (hình tam giác) của hình chóp được tính như sau:

$S=\frac{1}{2}\times 10\times 20=100{cm}^2$

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp được tính như sau:

$S_{xq}=4\times 100=400{cm}^2$

Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình chóp, ta có:

$S_{tp}=S_{xq}+S_a=400+20.20=800{cm}^2$

Vậy diện tích toàn phần của hình chóp trên là $800{cm}^2$.

Tripi đã chia sẻ với bạn các công thức tính diện tích hình chóp, bao gồm diện tích xung quanh và diện tích toàn phần, cùng ví dụ minh họa chi tiết. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp bạn nắm vững và áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài toán liên quan đến hình chóp. Cảm ơn bạn đã theo dõi và ủng hộ bài viết.